ss69100 (ss69100) wrote,
ss69100
ss69100

Categories:

Старая школа - сайт с избранными учебниками по математике и русскому языку

Старая школаИскал задания по математике и наткнулся на весьма полезный сайт.

Оговорюсь сразу: на нём также присутствует и русский язык как школьная дисциплина.

Похоже, что сайт с учебниками создан русскими людьми, проживающими в Латвии.

Вот рубрики сайта:

  • Арифметика

  • Алгебра

  • Геометрия

  • Тригонометрия

  • Русский язык.


По каждому разделу учебников немного, но они - одни из лучших. Как царских, так и советских времён. И что особенно ценно - без ПДФа, а если есть картинки с формулами или графиками - то они отличного качества. Чувствуется, что был проделан огромный труд, спасибо этим людям!

Название сайта - „Старая школа”.

В качестве иллюстрации, поместил ниже короткую главку из „Пособия для учителей” авторов Худобиных и Шуршалова, Москва, „Просвещение”, 1973 г.

„Краткий обзор свойств и графиков  ранее   изученных  функций” - весьма полезно освежить в памяти. Ведь такие графики иллюстрируют практически все процессы как в природе, так и в обществе!

§ 210. Краткий обзор свойств и графиков  ранее   изученных  функций

В этом параграфе мы дадим краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций. При этом  мы будем придерживаться   следующего   плана:

1)   область   определения   функции;
2)  область изменения функции;
3)  четность функции;
4)  периодичность функции;
5)  интервалы знакопостоянства;
6)  нули функции, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль;
7)  монотонность функции;
8)  локальные экстремумы функции;
9)  поведение функции вблизи «особых» точек (например, функции  у = 1/x   вблизи    точки х = 0).

Впрочем, порядок этот не является обязательным и в некоторых случаях для пользы дела может быть смело изменен. Отметим лишь, что осуществление каждого пункта плана всегда полезно сопровождать геометрической интерпретацией на графике исследуемой функции.

1. Квадратная функция    у = ax2 + bx + c   (а =/= 0)

Эта функция определена для всех значений х, так что областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел. Графиком квадратной функции служит парабола, вершина которой  имеет  координаты    (  ) При а > 0   парабола направлена вверх (рис. 287), а при а < 0 — вниз (рис. 288).

   

Если а > 0, то областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных ; если же а < 0, то областью изменения ее служит множество всех чисел, меньших или равных  .

При b =/= 0 функция у = ax2 + bx + c  не будет ни четной, ни  нечетной,  поскольку   ни  одно  из равенств

ax2bx + c = ax2 + bx + c,

[f(— х) = f (x)]

и

ax2bx + c = = — (ax2 + bx + c),

[f(— х) = — f (x)]

не выполняется тождественно.

При b = 0 квадратная функция принимает вид у = ax2 + c и потому является четной функцией.

Данная функция  непериодична. Если дискриминант

d = b2 — 4ас

отрицателен, то функция не имеет нулей. В этом случае все ее значения имеют один и тот же знак — знак коэффициента а (см. рис. 289 для а > 0 и рис. 290 для а < 0).

 

Если дискриминант d положителен, то функция имеет два нуля:

Если к тому же а > 0, то функция положительна при х < x1 и х > x2, а отрицательна при x1 < х < x2 (см. рис. 287).

В случае, когда d > 0, а а < 0, функция положительна при x1 < х < x2, а отрицательна при х < x1   и  х > x2 (см. рис. 288).

Наконец, возможен и случай, когда d = 0.  Тогда квадратная функция имеет единственный нуль

x =

При всех значениях х =/=  она сохраняет один и тот же знак — знак коэффициента а.

В случае, когда а > 0, квадратная функция у = ax2 + bx + c

монотонно убывает при х <  и   монотонно   возрастает  при х  > (см. рис. 287 и рис. 289).

В случае,  когда а <. 0, она, наоборот, монотонно возрастает при х  <   и монотонно убывает при   х >    (см. рис. 288 и рис. 290).

Данная функция имеет единственный локальный экстремум

y экстр =

Этот экстремум достигается при х =   и является минимумом при а > 0 (рис. 287 и рис. 289) и максимумом при а < 0 (рис. 288 и рис. 290).

2. Степенная функция   у = хr.

Область определения такой функции зависит от r.

Например, при r = 1 (у = х) это будет совокупность всех действительных   чисел,    при r = 1/2  ( у = √x) — совокупность неотрицательных чисел, при r = 0 ( у = х0 ) — совокупность всех чисел, кроме 0. Для положительных значений х функция у = хr определена всегда, независимо от того, чему равно r.

Область изменения функции у = хr  также зависит от r. Например, функция у = х (r = 1) может принимать все действительные значения, функция у = x2 (r = 2) — только   неотрицательные   значения, а функция у = х0 (r = 0) — лишь одно значение, равное 1.

Среди степенных  функций есть четные и нечетные. Например, функции у = x2, у = x4   — четные, а функции у = x3, у = x—3 — нечетные. Некоторые степенные функции (например, у = √x) определены лишь для неотрицательных значений аргумента. Для них ставить вопрос о четности не имеет смысла.

Степенная функция у = хr непериодична.

При х > 0 степенная функция у = хr  независимо от положительна.

Некоторые степенные функции (например, у = 1/x, у = х—3/2 не имеют нулей, для других же нулем является число 0 (например, для функций у = √x  , у = x3) и т. д.;

Если число r положительно, то при х > 0 степенная функция у = хr монотонно возрастает (рис. 291). Если же r отрицательно, то при х  > 0 степенная функция у = хr монотонно убывает (рис. 292).

 

Некоторые степенные функции, например у = x2, у = x4, имеют локальный минимум в точке х = 0.

Отметим еще поведение функций у = 1/x и у =   вблизи   точки  х = 0.

Когда х  стремится   к   нулю, оставаясь положительным, функция у = 1/x неограниченно возрастает. Когда же х стремится  к нулю,  оставаясь отрицательным,  она неограниченно   убывает (рис. 293).

Функция у =  при приближении х к нулю (как слева,  так и справа) неограниченно возрастает (рис. 294).

3. Тригонометрические функции

Из  тригонометрических  функций   мы  рассмотрим   лишь  две функции: у = sin х   и    у = tg x.

Областью определения функции у = sin х является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех чисел, заключенных в интервале [— 1,1].

Функция является нечетной и периодической с периодом 2π .

В интервалах 2πп < x < π + 2πп  эта функция положительна,
а в интервалах π + 2πп  < x <  2π + 2πп  отрицательна (рис. 295).

При х = πп она обращается в нуль.

В интервалах — π/2 + 2πп < х < π/2 + 2πп функция монотонно возрастает, а в интервалах    π/2 + 2πп < х < 3/2 π + 2πп  монотонно убывает.

Точки х = π/2 + 2πп являются точками локального максимума функции у = sin х . В них она принимает   наибольшие   значения, равные 1. Точки х = — π/2 + 2πп являются точками локального минимума. В них функция принимает наименьшие значения, равные — 1.

Функция у = tg x определена при   всех   значениях х,   кроме х = π/2 + πп. Областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел.

Эта функция нечетна и периодична с периодом π (рис. 296).

В интервалах πп < х < π/2 + πп она положительна, а в интервалах — π/2 + πп < х < πп отрицательна. При х = πп функция обращается в нуль. В каждом интервале, не содержащем точек х = π/2 + πп, эта функция монотонно возрастает. Локальных экстремумов функция не имеет. Когда значения х неограниченно приближаются к π/2 + πп, оставаясь меньше π/2 + πп, значения функции у = tg x неограниченно возрастают. Когда же значения х неограниченно приближаются  к π/2 + πп, оставаясь больше этих значений, функция у = tg x неограниченно убывает.

4.  Показательная функция   у = ах    (а >0,  а =/= 1)

Областью определения этой функции  является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех положительных чисел. Функция не является ни четной, ни нечетной. Не является она и периодической. При всех значениях аргумента х эта функция положительна. При а > 1 показательная функция у = ах является монотонно возрастающей (рис. 297), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 298). Точек локальных экстремумов функция не имеет.

5. Логарифмическая функция у = loga x    (а >0,  а =/= 1)

Областью определения этой функции является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения — совокупность всех действительных чисел. О четности или нечетности этой функции говорить не имеет смысла. Функция не является периодической. Если а >1, то при х > 1 функция положительна, а при х < 1 отрицательна (рис. 299).

  

Если же а < 1  то, наоборот, при х > 1 функция отрицательна, а при х < 1 положительна (рис. 300). Единственным нулем логарифмической функции является точка х = 1. При а > 1 эта функция является монотонно возрастающей (рис. 299), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 300). Локальных экстремумов функция не имеет. Если а >1, то при приближении х к нулю функция неограниченно убывает; если же а < 1, то при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает.

Упражнения

По плану, описанному в данном параграфе, исследовать функции (№ 1643—1652):

1643. у = sin2 х.

1644. у = sin 2x.

1645. у = — |cos x].

1646. у = sin ( x π/4 )

1647. у = tg ( x + π/4 ).

1648. у = x2 — 4x +5.

1649. у = x2 + x — 7.

1650. у = 1 + x — 2x2

1651. у = х x .

1652. у =

Если кто-то испытывает ностальгию по творчеству в ранней молодости, то, пожалуйста: вот несложная задачка из одного учебника с вышеупомянутого сайта. Как говорится, бог в помощь!

0464.  От двух кусков сплава одинакового веса, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равного  веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после  чего  процентное  содержание  меди в  обоих  кусках   стало одинаковым.   Во сколько  раз  отрезанный   кусок  меньше целого куска?

***


.

Tags: математика, образование, русский, советский, царизм, школа, язык
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments