Две задачки про насекомых

Я иду от дома до школы за 30 минут, а моя сестра – за 40 минут.
Через сколько минут я догоню сестру, если я вышел из дома через 5 минут после её ухода?

Коллега alex_dvorak предположил, что даже некоторые современные учителя вряд ли отыщут три  „равнозначно-простые методы решения”. Тем не менее  большинство полученных решений правильные. Давайте их рассмотрим.

I способ предложил коллега anskywalker.

„Половину пути брат пройдет за 15 мин., а сестра за 20, т.е. на 5 мин меньше. Поэтому выйдя на 5 мин. позже, он догонит ее на полпути, т.е. через 15 мин.”

II способ подсказал анонимный читатель, хотя и предварил его неверным утверждением. Давайте разберём это решение, как наиболее универсальное, подробно.

Принцип решения основан на следующем моменте: если при движении кто-то должен кого-то догнать, то мы просто делим разделяющее их расстояние на разность скоростей. Для тех, кто совсем не в ладах с арифметикой, дадим простой пример.

Пусть по одной дороге в одном направлении едут два автомобиля. Скорость первого 120 км/час, второго - 80 км/час, а в начальный момент их разделяли 160 км.

Итак, расстояние между автомобилями 160 км. Когда одна машина догонит другую, расстояние между ними будет равно нулю. Т.е. фиксируем, что это расстояние сокращается с какой-то определённой скоростью. С какой?

Прошёл час. Второй автомобиль удалился от первого на 80 км, а первый, в свою очередь, приблизился к нему на 120 км. Т.е. сократил дистанцию на 40 км. И теперь она составляет не 160, а 160 - 40 = 120 км. Т.е. скорость сближения машин - 40 км/час.

Прошёл ещё час. Расстояние уменьшилось ещё на 40 км, т.е. теперь дистанция между машинами равна 80 км. И т.д. Понятно, что последовательное вычитани по 40 км из начальных 160-ти можно заменить делением 160 км на 40 км/час, и мы получим искомые 4 часа, за которые быстрый автомобиль догонит медленный.

Делаем вывод: в задачах на догонялки делим расстояние между движущимися субъектами на разность их скоростей.

Тот же принцип и в решении нашей задачи. И неважно, что расстояние от дома до школы нам не дано в условии. Решать задачу будем, пользуясь понятием „часть”.

Итак, какую часть пути пройдёт сестра за первые 5 минут? Очевидно, это 5/40 или 1/8. Именно такое расстояние (в частях) разделяет брата с сестрой. Теперь подсчитаем скорости и найдём их разность. Т.к. сестра за каждую минуту преодолевает 1/40 часть пути от дома до школы, то это и есть её минутная скорость. Аналогично для брата получаем 1/30. Вычисляем разность скоростей: 1/30 - 1/40 = 1/120. Трактовать этот результат можно примерно так: каждую минуту, будучи в пути, брат увеличивает от шагающей сестры отрыв на 1/120 часть пути от дома до школы.

Теперь осталось всего одно действие: поделить расстояние, отделяющее брата от сестры, на разность их скоростей:
1/8 : 1/120 = 15. Причём 15 именно минут, ибо скорость у нас была выражена в частях/мин.

III способ предложил коллега olegilyin. Обозначил он его как решение методом составления уравнения, хотя точнее будет назвать его методом пропорции. Вот его решение.

х/30=(х+5)/40, где за х обозначено время, в течение которого брат догонит сестру. Понятно, что х = 15 мин. Красиво, но... совсем не просто объяснить, на каком основании составлена эта пропорция.

Наконец, IV способ, методом составления уравнения по вполне понятным и объяснимым основаниям, предложен ещё одним анонимным читателем.

Скорость сестры 3\4 скорости брата. Там, где они встретятся, путь равный, только сестра шла на 5 мин дольше. 3\4v(t+5) = vt, где t - время, через которое брат догонит сестру..

Сократив обе части равенства на ненулевое значение скорости брата, т.е. на v, раскрыв скобки, перенеся неизвестные в одну часть, известные в другую, получаем совсем простенькое уравнение: 1/4*t = 15/4, т.е. t = 15 мин.

Спасибо всем, откликнувшимся на эту задачу! Приятно и отрадно, что русские люди, несмотря ни на что, способны выдавать разнообразные творческие решения! Ибо по личному опыту знаю, что даже 18-летние французские школьники решить предложенную выше задачку неспособны. В подавляющем своём большинстве, подавляющем.


Для поддержания тонуса предлагаю решить две другие задачки: первая - попроще, вторая - с заковыкой!


Задача про двух мух.

Две мухи одновременно начали спускаться с потолка по стене, а достигнув пола, стали взбираться обратно к потолку. Скорость первой мухи постоянная. А вот вторая спускается в два раза быстрее, зато поднимается в два раза медленнее, нежели первая.

Какая из мух быстрее доползёт до потолка?


Вторая задача.

Одна из моих любимых задач: паук в помещении. Паук сидит в верхнем углу помещения (точка А1), имеющем форму параллелепипеда с размерами 5х5х7 метров (высота равна 7 метрам). Выбирая наикратчайший путь, насекомое очутилось в нижнем противоположном углу (точка С).

Сколько метров прополз паук?