Устный счёт. Практика

Хотел поделиться одним приёмом устного счёта, да всё как-то было недосуг. Но двайте всё же восполним пробел.

Итак, речь пойдёт об умножении в уме чисел, близких к 100. Пример: 93 х 89 = 8277. Зная методику, результат получается буквально за несколько секунд.

Давайте разберём этот пример.

Сначала вычисляем число сотен в ответе. И делается это... путём простого вычитания! Из любого данного числа вычитаем дополнение до ста другого числа: 93 - 11 = 82 или 89 - 7 = 82.

Получили 82 сотни. Осталось вычислить число единиц и десятков в ответе. Что тоже элементано просто: для этого надо всего лишь перемножить дополнения данных чисел до ста. Т.е. умножаем 7 на 11, получаем 77. Это число и займёт место десятков и единиц в ответе.

Для чисел, превышающих сотню, методика аналогична. Только вместо вычитания к одному из данных чисел приплюсуем превышение другого над сотней.

Пример: 109 х 107 = 11663.

Прибавляем либо к 109 семёрку, либо к 107 девятку. Получаем 116. В ответе это будет общее число сотен. А место десятков и единиц займёт произведение двух превышений над сотней: 9 умножаем на 7. Всё.

Понятно, что может встретиться переполнение сотен. Например, когда умножаем 115 на 108.

По правилу: 115 + 8 = 123. 15 х 8 = 120. Число 120 содержит одну целую сотню, которую мы прибавим к полученным ранее 123-м сотням. Отсюда немедленный ответ: 12420.

Ясно, что если перемножать конкретные превышения (или дополнения) ста легко, то перемножаемые числа совсем необязательно должны быть близки к 100.

Пример: 106 х 122 = 12932. Ответ получается довольно просто, если видишь сразу, что 6 х 22 это 132.

(Для особых ценителей устного счёта: 125 х 888 = 111000.

Это, конечно, шутка. Умножение числа, кратного восьми на 125 осуществляется простым делением числа на 8 с последующим умножением результата на 1000.)

А если серьёзно, то для следующего примера действительно применим метод, описанный в начале.

Возьмём, скажем, 135 и 142. Перемножим эти числа. Но начнём не со сложения, а с перемножения избытков сотни.

Итак, надо умножить 35 на 42. Упростим задачу: будем умножать 70 на 21 и, конечно, получим тот же ответ. А это действительно легко: 70 х 21 = 1470.

Из этого числа в окончательном ответе сохранится лишь число единиц и десятков, т.е. 70. А 14 сотен мы прибавим к числу сотен, получаемых сложением по описываемому методу. 135 + 42 + 14 = 191. Это окончательное число сотен в ответе.

135 х 142 = 19170.

Любопытно, что применить метод можно и в случае, когда одно число ненамного больше 100, а другое также не сильно превышает 200, и притом второе число - чётное. Тогда большее число делим на 2, затем умножаем по предложенному методу, а после удваиваем результат.

Пример: 244 х 106 = 25864.

244 : 2 = 122. Это число умножаем на 106: 106 + 22 = 128. Затем перемножаем 22 и 6, получаем 132. К 12800 прибавляем 132, получаем 12932. И уже это число умножаем на два.

Доказательство описанного метода тривиально.

Пусть одно число равно 100 + а, другое 100 + б.

(100 + а) х (100 + б) = 100 х (100 + а + б) + аб.

Схожий метод применим и при умножении двух чисел, одно из которых превышает 100, а второе меньше ста.

92 х 113 = 10396.

Тут проще начать с перемножения дополнения на избыток, потому что полученный результат мы будем вычитать из будущего числа сотен: 8 х 13 = 104.

113 минус 8 = 105. Т.е. мы получили 105 сотен, 10500, из которых теперь надо вычесть предыдущий результат: 10500 - 104 = 10396.