Решение американской задачи про площадь прямоугольного треугольника

Кто-то из решавших сообразил, что треугольник с заданными размерами попросту не существует. Хотя у кого-то всё же сработал рефлекс тут же применить всем известную формулу.

Давайте докажем невозможность существования треугольника с данными в условии размерами.

Приведём два несложных док-ва.


1. Из вершины прямого угла проведём медиану ВЕ.

Из точки Е опустим перпендикуляр ЕF на катет АВ. Фиксируем, что EF || ВС.

Замечаем, что FE - средняя линия данного треугольника.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника AFE и FBE. Сторона FE общая, а AF = BF по свойству средней линии треугольника. Следовательно, рассматриваемые треугольники равны по двум катетам.

А в равных треугольниках против равных углов (в нашем случае - прямых) лежат равные стороны. Т.е.AE = BE = 5.

Рассмотрев прямоугольный треугольник BDE, заключаем, что его гипотенуза равна 5, а один из катетов, BD, равен 6.

Возникшее противоречие доказывает невозможность существования изначального треугольника.
Второй способ ещё проще.

2. Описанная вокруг данного треугольника на гипотенузе как на  диаметре окружность будет иметь одним из радиусов медиану ВЕ. Т.е. ВЕ = 5 (половине диаметра АС). А дальше то же противоречие в треугольнике BDE, что описано выше.